Věda podle abecedy

Petr Koubský

Edice N

Úvodem

Ve škole jsme se učili abecedu. Od té doby se svět změnil. To platí, ať je vám osmdesát, či osmnáct. Kdo chce světu rozumět, musí zacházet s pojmy, jež ho popisují, stejně snadno a samozřejmě jako s písmeny.

Napadlo mě udělat knížku o vědě formou slovníku. Co kapitola, to slovo, které je dobré znát, které se nějak týká každodenního života, přestože to nemusí být zřejmé na první pohled. Nečekejte encyklopedii, slovníková hesla často používám jako záminku, jako vstupní bránu do vyprávění o širších souvislostech. Na druhou stranu slibuji, že se nikde nevyhýbám poctivému a srozumitelnému vysvětlení, nejde o žádnou hru se čtenářem. (S výjimkou jediného hesla, kde jsem dal přednost lehkosti nad rigorózností. Rozpoznáte ho snadno.)

Jedním z důsledků použité slovníkové formy je to, že se nelze vyhnout duplicitám. Některé záležitosti je prostě potřeba vyložit víckrát, pokaždé na jiném místě – na slovník si jen hrajeme, šlo mi o to, abyste kterékoli heslo mohli číst jako souvislý text bez listování sem a tam. Rozhodl jsem se, že se duplicitám vyhýbat nebudu, že je naopak přijmu jako příležitost vysvětlit důležité věci víckrát, pokaždé trochu jinými slovy, z jiného zorného úhlu.

Rozhodnutím pokrýt všechna písmena české abecedy, jimiž může gramaticky správné slovo začínat, tedy také Ď, Ť a Ň, jsem si trochu zkomplikoval život. Mám ale za to, že omezující podmínky jsou pro zdar díla zpravidla přínosem. Můj nezapomenutelný učitel z pražské VŠCHT, profesor Oskar Schmidt, člověk, který mě přiměl uvažovat o vědě jako o životní náplni (není jeho vinou, že se tak nestalo), rád říkával: v ideálních podmínkách dovede pracovat každý blbec.

Kniha částečně vychází z mých textů v Deníku N. Kde se mi některý z pojmů již podařilo vyložit dříve, tam jsem po hotové práci sáhl a jen ji trochu upravil. Větší část obsahu je však zcela nová.

Nikdo neví, jaká úroveň popularizace vědy je správná, jaká osloví a potěší nejvíc čtenářů. Kdykoli píšete o vědě pro široké publikum, honíte dva zajíce najednou. Snažíte se, aby laický čtenář netápal, nepřestal číst a něco si odnesl; a zároveň dáváte pozor, aby použitá zjednodušení nedráždila odborníky. Každý z těch zajíců běží jinam. Zkušenost mě však naučila, že často utíkají podobnými směry a že se občas dohonit dají. V téhle knížce jsem si na to velkoryse dal asi padesát pokusů. Při takovém množství by se to snad občas povedlo i šimpanzovi!

To jako pobídka k nákupu samozřejmě nestačí. Raději vám nabídnu jiný argument, byť také ne zrovna obchodnický: Věda podle abecedy je o věcech, o nichž přemýšlím dlouhodobě – o některých z nich půl života. Nejsem vědec, nesnažím se ty pojmy změnit či prohloubit. Přemýšlím, jak je co nejlépe vysvětlit. Doufám, že by vám tahle nová abeceda mohla být užitečná.

Knihy bývají výsledkem činnosti mnoha lidí, mezi nimiž autor často ani není tou nejdůležitější osobou. O vznik téhle knihy se víc než já zasloužil Ján Simkanič, ředitel vydavatelství N media. Bez jeho výzev, opakovaných a ke konci již důrazných, by mě vůbec nenapadlo se do psaní pustit – jednak z lenosti, jednak kvůli názoru, kterého se s léty zbavuji stále obtížněji, že totiž napsaného textu je na světě už příliš mnoho. Děkuji Honzovi, že ze mě tento pocit provinění sňal na dobu nutnou k napsání knihy. Děkuji šéfredaktorovi Deníku N Pavlu Tomáškovi, že mi na psaní poskytl velkomyslné množství času. A velmi děkuji svým redakčním kolegům, na které dočasně připadla část mých běžných povinností. Rád jim to oplatím, až budou přibývat další svazky této ediční řady.

Můj dík patří všem, kdo se podíleli na cestě od rukopisu (ano, pořád se tomu tak říká) po tu věc, kterou teď držíte v ruce. Grafickou úpravu vymyslela kolegyně Eva Škrovinová z Deníku N, která spolu s Marcelou Schneiberkovou knihu vysázela a opatřila ilustracemi. Důkladnou jazykovou korekturu provedl Ondřej Horník, na poslední chvíli ještě sazbu přečetla Diana Štelová.

Naprosto zásadní roli sehrál Ondřej Vrtiška, biolog a vědecký novinář v jedné osobě, který prošel text knihy – nutno podotknout, že ve značné časové tísni, která nijak neovlivnila jeho pečlivost – a přispěl mnoha cennými připomínkami, některé z nichž mě uchránily před blamáží. Chyby, které zbyly, samozřejmě padají výhradně na mou hlavu.

Hodně věcí jsem si ujasnil doma v diskusích se Sigim a Karolínou, dvěma dětmi věku donedávna středoškolského. Obecně vzato, nejlepší metoda, jak se něco naučit, je pokusit se to vysvětlit někomu jinému. Až když to dokážete, můžete si dopřát pocit, že problematice jakžtakž rozumíte. V tomto smyslu pro mě bylo psaní Abecedy velmi přínosné. Zkuste někdy totéž – vysvětlovat těm, kdo o to stojí. Šířit znalosti je jedna z nejužitečnějších věcí, jaké se dají dělat. A zároveň jedna z těch, kde čím víc rozdáváte, tím víc sami máte. V tom se podobá lásce.

Petr Koubský

Astat

Chemický prvek číslo 85, nestabilní, radioaktivní. Pokud známo, zcela neužitečný. Velmi zajímavý.

Pravděpodobně to je černá hmota kovového vzhledu. Nikdo ji ale ještě neviděl a nejspíš nikdy neuvidí, aby to mohl potvrdit. Přesněji řečeno, kdybyste větší kus astatu někdy spatřili, buďte si jisti dvojím: za prvé, je to jedna z posledních věcí, které v životě vidíte, za druhé, nastaly tak zvláštní okolnosti, že ten astat je zřejmě jednou z nejméně podivných věcí kolem vás.

Astat je nejvzácnější přirozeně se vyskytující prvek. Na celé zeměkouli by se ho našel nanejvýš gram. A kdybychom si ho přece jen opatřili ve větším množství, odpařil by se nám před očima, přestože taje až při třech stech stupních Celsia. Této teploty by však větší kus astatu dosáhl snadno a rychle sám od sebe. Zahřál by ho jeho vlastní radioaktivní rozpad. Skvěle to vystihl biochemik Derek Lowe, kterého ve své knize Co kdyby? cituje Randall Munroe: „Astatu se prostě nechce existovat.“

Nechce existovat, jenže musí; je mu vyhrazeno místo v periodické tabulce. Ta zobrazuje zásadní fyzikální zákon, princip výstavby atomů. Odhalili ho začátkem dvacátého století Rutherford a Moseley, do hloubky ho propracoval Niels Bohr, ale začít musíme od Mendělejeva.

Všechno je z atomů, jenže co to je atom?

V roce 1869 se o struktuře hmoty vědělo toto: všechno kolem nás je tvořeno atomy. Na světě existuje mnoho chemických prvků; co prvek, to odlišný typ atomu, zatímco všechny atomy téhož prvku jsou stejné. Kolik prvků je, to nebylo jasné, těch známých bylo něco přes šedesát a objevovaly se další. Jako věrohodná vypadala i domněnka, že jejich počet není ničím omezen. (Což se ostatně pokládá za možné i dnes.)

Většina jednoduchých látek kolem nás – voda, sůl, cukr, alkohol – nejsou prvky, ale sloučeniny. Skládají se z molekul, což jsou konstrukce tvořené atomy prvků. Některé jsou jednoduché, molekulu vody tvoří dva atomy vodíku a jeden atom kyslíku. Jiné jsou složité, molekulu typické bílkoviny tvoří tisíce atomů vodíku, uhlíku, kyslíku, dusíku a dalších prvků. Sloučeniny lze rozložit na prvky a pak ty prvky případně uspořádat jinak, jako když například z kyseliny chlorovodíkové a hydroxidu sodného vznikne kuchyňská sůl a voda:

HCl + NaOH → NaCl + H_2O

Prvky na nic jiného přeměnit nelze, jsou nejjednodušší formou hmoty. (Většina těchto poznatků víceméně platí dodnes, skoro všechny však byly doplněny a upraveny – nezapomeňte, pořád je řeč o roce 1869.)

Některé prvky, hlavně kovy, byly známy odedávna: zlato, stříbro, měď, železo, ale také síra či rtuť. Jiné, především plyny, objevili chemici v osmnáctém století: do této skupiny patří kyslík, vodík, dusík, chlor. Počátkem devatenáctého století se začala rozvíjet elektrochemie. Zavedením elektrického proudu do roztoku se některé sloučeniny rozloží. Tak se podařilo najít další prvky.

Velký pokrok přišel se spektroskopií. Sluneční světlo se dá rozložit lomem a rozpadne se do duhy – do barevného spektra. Jsou i jiná světla než sluneční. Když třeba spalujete čistý vodík (nedělejte to doma!) a jeho světlo rozložíte hranolem, nedostanete celou duhu, ale jen několik úzkých barevných proužků – spektrálních čar – oddělených tmou (konkrétně u vodíku tři proužky: červený, modrozelený a fialový). Postupem času změřili experimentátoři barevná spektra většiny tehdy známých prvků (zapálit se dá s trochou úsilí všechno) a zjistili, že každé z jich je jiné, že každý prvek má svůj jednoznačný spektrální podpis.

Třeba podle abecedy

Teď se seznámíme s Dmitrijem Ivanovičem Mendělejevem. Zmíněného roku 1869 mu bylo pětatřicet, měl za sebou studia v Německu, byl profesorem na petěrburgské polytechnice a psal učebnici anorganické chemie. To byl sám o sobě dobrý důvod k hledání nějaké logiky v seznamu prvků.

Její náznak už tou dobou existoval. Chemici znali pojem „atomová váha“ a uměli podle ní prvky seřadit od nejlehčího – vodíku – k nejtěžšímu, kterým tehdy bylo olovo.

Mohlo by vás napadnout, že atomová váha je něco podobného jako hustota, ale tak to není. Jde skutečně o váhu (v dnešní terminologii: hmotnost) atomu. V devatenáctém století sice neuměl nikdo atom zvážit, ale dalo se stanovit, kolikrát je těžší než atom vodíku, jehož atomová váha byla pro tento účel definována jako 1. Chemici se pečlivými experimenty dopracovali k názoru (správnému), že se prvky spojují do sloučenin ve stálých poměrech a tyto poměry jsou vždy malá celá čísla. Za tohoto předpokladu lze – dalšími pečlivými experimenty – zvážit a dopočítat, kolikrát je kyslík těžší než vodík, provést stejný výpočet třeba pro dusík (pomocí molekuly čpavku, NH_3) a tak dále. Ne všechny atomové váhy vyšly jako celá čísla, což překvapilo – dnes víme, že je to způsobeno existencí izotopů a že žádná relativní atomová hmotnost, což je moderní termín pro „atomovou váhu“, není celé číslo (viz IZOTOPY).

Když seřadíme prvky známé v roce 1860 podle atomových vah, vznikne schéma, ve kterém se některé vlastnosti prvků opakují. Například třetí prvek takového pořadí – lithium – vypadá a chová se velmi podobně jako jedenáctý sodík a devatenáctý draslík. Podobně osmý kyslík se v lecčem podobá šestnácté síře. Zřetelně zde funguje nějaké pravidlo s periodou osm. Toho si všimli mnozí, ale hledání hlubší zákonitosti nevedlo nikam. Když tento „zákon oktáv“ prezentoval mladý chemik John Newlands roku 1865 londýnské Chemické společnosti (a nešťastně do toho pletl hudební oktávy), dostalo se mu ironické otázky, jestli už zkusil seřadit prvky pro změnu podle abecedy.

Kromě atomových vah a chemických vlastností byla k dispozici ještě jedna škála třídění prvků. O její zavedení se zasloužil švédský chemik Johan Berzelius. Když experimentoval s elektrolýzou, povšiml si, že prvky se liší podle toho, zda je přitahuje kladná, či záporná elektroda. A když jich dáte do roztoku víc, budou přitahovány různou silou. Tak sestavil řadu od nejkladnějšího sodíku po nejzápornější kyslík (dnes by začínala cesiem a končila fluorem, o jejichž existenci Berzelius ještě nevěděl) a vyslovil domněnku, že každá sloučenina má kladnou a zápornou část. Neplatilo to pro organické látky jako cukr či alkohol, což Berzelius vyřešil prohlášením, že ty nedrží pohromadě elektrický náboj, ale speciální životní síla, vis vitalis. V tom se naprosto mýlil a v podstatě mu to vyvrátil Wöhler syntézou organické látky, močoviny, již v roce 1828, díky Berzeliově autoritě však teorie žila ještě dlouho. Sestavit prvky do řady podle elektrochemických vlastností však dobrý nápad byl. Něco to určitě znamenalo, jenže co?

Pasiáns s atomy

Mendělejev sám tvrdil, že na princip, kterému dnes říkáme periodická tabulka, přišel ve snu, když se mu prvky samy před očima uspořádaly do správného schématu. Legendu rozšířil on sám, a zda se jí dá věřit, je sporné. (Říkával o sobě taky, že je potomkem sibiřských domorodých kmenů a že do sedmnácti let nemluvil rusky, ač byl synem ředitele gymnázia.)

Ovšemže na tom nezáleží. Mendělejevovi pomohly především jeho zevrubné znalosti vlastností všech prvků. Znal je důvěrně a nazpaměť, mohl si s nimi pohrávat v hlavě, přeskupovat je podle potřeby. Kromě toho si rád vykládal pasiáns.

A díky tomu všemu nakonec uviděl dvourozměrné schéma – tabulku, v níž se některé vlastnosti mění v řádcích, jiné se opakují ve sloupcích. (On sám ji psal otočenou a zrcadlově převrácenou oproti dnešní konvenci.) Tím do sebe zapadlo všechno: atomové váhy, Berzeliova řada (hodnotám v ní se dnes říká elektronegativity) a především obdobné vlastnosti některých prvků. Zpravidla těch, které jsou od sebe vzdáleny o osm míst.

Mendělejev měl nejen odvahu vynechat v tabulce prázdná místa pro prvky, které dosud nebyly nalezeny, ale dokonce předpověděl jejich vlastnosti – většinou správně. Vynechal místo i pro astat.

Ten patří do stejného sloupce tabulky jako celkem dobře známé prvky fluor, chlor, brom a jód. Říká se jim halogeny. Jsou hodně reaktivní a dovedou vytvářet velice stabilní sloučeniny, což je vlastně jinými slovy totéž: ve sloučeninách je jim „líp“ než o samotě. Všechny jsou v čistém stavu jedovaté a žíravé. Fluor a chlor jsou za normálních podmínek plyny. Brom je kapalina, která budí dojem, že kapalinou být nechce; valí se z ní zlověstně vyhlížející rudohnědá pára (její bod varu je 59 °C). Jód je pevná látka, která budí dojem, že… uhodli jste: má sice bod tání poměrně solidních 114 °C, ale už za pokojové teploty vydatně sublimuje – mění se z pevné látky přímo v páru. Co se tedy dá čekat od astatu? Také vysoká reaktivita, ještě temnější barva (fluor je nažloutlý, jód už temně fialový). Měla by to být pevná látka, možná kovového charakteru. A nejspíš bude provádět nějaké kulišárny stejně jako ostatní halogeny.

Třináct nestabilních prvků

Do třicátých let dvacátého století se podařilo Mendělejevovu tabulku téměř zaplnit. Pozici nejtěžšího prvku zaujal uran s pořadovým číslem 92. Nevyplněna zůstala políčka 43, 85 a 87. Tyto prvky se nedařilo nikde na světě najít. Proč tomu tak je, to vyjasnil důkladný výzkum radioaktivity a vlastností atomového jádra.

Atom se skládá (viz BOHRŮV MODEL ATOMU) z jádra a obalu. Jádro je tvořeno protony a neutrony, obal je tvořen elektrony. Chemie jako vědní disciplína se zabývá výhradně elektronovým obalem, a to ani ne celým: skoro všechno, co je z chemického hlediska důležité – vlastnosti prvků, jejich spojování do sloučenin – je určeno skupinou elektronů ve vnější části slupky. Co je pod nimi, blíž k jádru, to nemá na chemické děje vliv. A jádro samo už vůbec ne.

Takto chápaná chemie nemohla tři zbývající prvky najít, protože řešení záhady se nachází v jejich atomových jádrech. Neustále se totiž rozpadají, nejsou stabilní. Prvky 43 (dnes ho známe jako technecium), 85 (astat) a 87 (francium) musely být nejprve připraveny uměle. Zpočátku se soudilo, že se na zeměkouli vůbec nevyskytují. Dnes víme, že to není pravda. Technecia je v každé chvíli na Zemi 18 000 tun, francia asi 30 gramů a astatu – to nikdo tak docela neví, odhaduje se, že to bude gram nebo méně. Neobratná formulace „v každé chvíli“ je nezbytná. Tyto prvky totiž neustále vznikají a zanikají. Jsou meziprodukty jaderných přeměn.

Podle současného stavu poznání se na Zemi vyskytuje 94 prvků, od vodíku po plutonium. Třináct z nich je nestabilních; postupně se proměňují v jiné prvky. Činí tak rozmanitými rychlostmi, s poločasem rozpadu od minut po miliony let. A vydávají přitom energii v podobě radioaktivního záření. Kromě toho dovedeme uměle připravit další prvky, které se na Zemi přirozeně nevyskytují. Těch je prozatím 24. Všechny jsou nestabilní a radioaktivní. Není známo, jestli existuje nějaká horní mez, nebo zda můžeme těžší prvky připravovat umělými jadernými reakcemi dál a dál. Také se neví, jestli se od nějakého bodu jejich vlastnosti nezmění a nezačnou být zase stabilní namísto radioaktivních, což by samozřejmě bylo velice zajímavé.

Banach-tarského paradox

Z jedné koule se dají udělat dvě stejně velké jako ta původní.

Rakousko-uherský Lemberg, polský Lwów, sovětský Ľvov, německý Lemberg, zas sovětský Ľvov a nyní ukrajinský Ľviv, to jsou v kostce osudy jednoho města za posledních sto let. Nacházejíc se v průsečíku kultur, prožilo slavné i hořké chvíle a po nějakou dobu, kterou z našeho vyprávění vynechat nemůžeme, bylo centrem pekla na zemi.

Lvovská univerzita se na začátku dvacátého století stala místem velkého soustředění matematických talentů. Aby takový ostrůvek vznikl, k tomu zpravidla stačí překvapivě málo: jedna či dvě silné osobnosti a minimální organizační zázemí. Talentovaní žáci přijdou sami.

Lvovská matematická škola nebyla formální instituce, ale název intelektuální skupiny, směru bádání a přemýšlení. Založil ji muž, o němž dnes neví skoro nikdo. Jeho plné jméno – v Polsku jsou plná jména náležitě důstojná a obřadná – znělo Władysław Hugo Dyonizy Steinhaus. Pocházel z Haliče, disertaci napsal v Göttingen u samotného Davida Hilberta, zřejmě největšího světového matematika tehdejší doby, a pak se vrátil domů. Zabýval se rozvojem teorie Lebesgueovy míry, ale jeho organizační přínos byl větší, takže jeho žáci ho v mnohém zastínili. Osud vynikajících učitelů!

„Největším Steinhausovým objevem“, jak to sám nazval, byl jeho doktorand Stefan Banach. I to byl venkovský kluk z Haliče, typické zázračné dítě téměř bez formálního matematického vzdělání. K objevu došlo za první světové války, kdy Steinhaus náhodou na ulici v Krakově zaslechl dva ošuntělé mladíky, jak se spolu baví o vyšší matematice; jedním z nich byl Banach. Týden poté dokončili první společný článek, hned po válce získal Banach asistentské místo ve Lvově a v roce 1924 se tam stal profesorem. Rád pracoval po kavárnách a hospodách; když všude zavřeli, nepohrdl nádražním bufetem, kde psal vzorce u půllitru piva. Vyhovovala mu společnost, hudba a kouř; podobal se básníkům a spisovatelům téže doby od Haška po Orwella, jenže zkoumal svět jiným způsobem a výsledky svého průzkumu sepisoval v jiném, výlučnějším jazyce.

Parta Skotů

Banach byl duší společnosti v podniku jménem Kawiarnia Szkocka (Skotská kavárna). Ten se stal neformálním centrem lvovské matematické školy. Představte si je, jak tam popíjejí kávu, pivo a vodku, poslouchají klezmer a čmárají vzorce (jak praví legenda) přímo na mramorové desky stolků… Později si pořídili na skicování hypotéz tlustou knihu, kterou jim opatroval vrchní, takzvanou Skotskou knihu (Księga Szkocka). Do začátku druhé světové války, kdy tradice nevyhnutelně skončila, do ní zapsali 193 problémů, některé se jim podařilo vyřešit, jiné ne. Autor problému zpravidla uvedl i cenu pro řešitele: za snadné úlohy kávu, za těžší malé pivo, za ještě těžší porci kaviáru.

K nejslavnějším výsledkům zapsaným v této knize patří takzvaný Banach-Tarského paradox. Popravdě řečeno, zní tak, že jinde než v hospodě snad ani vzniknout nemohl; přesto jde o mimořádně důležitý výsledek posouvající matematické poznání o kus dál. Spočívá v tomhle: kouli lze rozřezat na konečný počet kusů a ty přeskupit tak, že vzniknou jiné dvě koule téže velikosti. (Později se ukázalo, že těch částí musí být minimálně pět. Dokázal to Abraham Robinson roku 1947. Jednou z částí je izolovaný bod.) Absurdní, že?

Steinhaus si o Banach-Tarského paradoxu nechal referovat ve své pracovně na univerzitě; Kawiarnia Szkocka nepatřila k jeho oblíbeným podnikům, v tom si se svými žáky nerozuměl. Raději chodil do cukrárny, která podle Stanisława Ulama (pozdější hlavní matematik vývoje vodíkové bomby) „byla víc nóbl … a měli tam nejlepší zákusky v Polsku.“ Možná právě tam vymyslel svůj slavný problém dělení dortu. Jak od oka rozdělit dort tak, aby všichni byli spokojeni se svým dílem a nikdo nemohl druhému závidět? Dělení pro dvě osoby je snadné: jeden krájí, druhý si vybere, který díl chce. Pro tři a více jde o těžkou úlohu, která je dnes nicméně vyřešena (i pro obecné n).

Anatomie paradoxu

S nekonečnými množinami (viz NEKONEČNO) se dá dělat nekonečně mnoho nekonečně podivných triků. Banach-Tarského paradox (zkraťme si to na BTP) není koneckonců žádným paradoxem ve smyslu neřešitelného rozporu. Je to jen matematická věta, která se zdá být v rozporu se zdravým rozumem – ale takových je! Je zcela solidní, její důkaz nikdo nezpochybňuje. Jen je dobré uvědomit si v souvislosti s ní několik věcí.

Snad je každému jasné, že se BTP týká matematických, nikoli reálných objektů. Jejím použitím nelze zdvojnásobit či jinak znásobit množství hmoty. Matematické objekty jsou idealizací předmětů z reálného světa. Přímka nakreslená na papíře nemá nulovou šířku (a nekonečnou délku), nakreslený bod není tím, „co nemá dílu“ (jak napsal Eukleidés, viz ZÁKLADY). Dosah této skutečnosti nám často uniká. BTP je mimo jiné dobrou příležitostí připomenout si ji.

S BTP je to ještě horší než s Eukleidovými body a přímkami. Nedá se nakreslit, nesouvisí s ním žádná názorná představa, je to ryze abstraktní záležitost. To je samozřejmě velmi frustrující, ale nedá se s tím nic dělat.

Co tedy BTP vlastně říká? S přesností dostatečnou pro náš účel můžeme použít formulaci, kterou uvádí český matematik Luboš Pick: „Kouli libovolného poloměru je možno rozložit na sjednocení konečně mnoha částí a tyto části potom znovu složit tak, aby vznikly koule dvě, obě identické s koulí původní.“

Důležité na tom je, že používáme jen dvě tzv. izometrické operace: přesuny a rotace, musíme se obejít bez deformací částí, například roztahování (představme si materiál, který je dokonale tuhý). Jinak by to totiž bylo snadné.

Existují analogie, které jsou pro pochopení BTP celkem užitečné, pokud nezapomeneme, že to jsou právě jen analogie. Nejjednodušší z nich je ukázat, že množina přirozených čísel (1, 2, 3…) se dá bez deformací (tedy izometricky) převést na množinu přirozených čísel, z níž vynecháme prvních libovolně mnoho členů – jako příklad nám poslouží množina přirozených čísel bez prvních tří členů, tj. 4, 5, 6… Druhou množinu prostě posuneme o tři místa doleva a je to. To udělat můžeme, protože obě jsou nekonečné, tudíž na konci nebude nic chybět, nekonečno plus tři je pořád (stejné!) nekonečno.

Zde je třeba zas jednou důrazně připomenout: nekonečno není totéž co „velmi hodně“, nekonečno není číslo. S nekonečnem se dá v matematice velmi užitečně pracovat, ale je třeba respektovat, že se chová jinak než čísla, často velmi kontraintuitivně.

Nutnou podmínkou pro platnost BTP je tzv. axiom výběru. Ten zasluhuje krátké vysvětlení.

Za jeden ze základů matematiky jako celku se dá pokládat teorie množin. Byla postupně vybudována na přelomu 19. a 20. století. Vychází z několika axiomů, mezi nimiž je jsou dva problematické: tzv. hypotéza kontinua a právě axiom výběru. Dlouho se o ně mezi matematiky vedl urputný spor. Dnes víme (dokázal to Paul Cohen roku 1965), že oba tyto axiomy jsou nezávislé na ostatních. To znamená, že můžeme mít teorii množin s jedním z nich, s oběma, anebo s žádným. Každá z těchto teorií bude vnitřně konzistentní a každá povede k trochu jiným výsledkům v oblasti vyšší, náročnější matematiky, Otázka, která z nich je „správná“, nemá smysl.

Axiom výběru se dá trochu nepřesně formulovat takto: když máme sadu neprázdných množin, můžeme vybrat z každé z nich po jednom prvku tak, že tento výběr vytvoří novou, tzv. výběrovou množinu. Ještě nepřesněji řečeno: máme hodně šuplíků, v každém z nich je nějaké množství kuliček, vždy alespoň jedna. Tvrdíme, že vždy lze vybrat z každého šuplíku právě jednu kuličku a nasypat je do pytlíku.

To přece dá zdravý rozum, ne?

Ano. A dokud je těch šuplíků konečný počet, není v tom žádný problém. Jakmile je jich nekonečné množství, začne zdravý rozum napovídat špatně.

Potíž je v tom, že nestačí říci „sáhnu tam pro některou kuličku“, protože to je metoda, která se u nekonečného počtu šuplíků nedá realizovat – nikdy neskončí! Metodu výběru musíme umět jednoznačně definovat. V některých případech to jde i s nekonečným počtem množin; příhodná je zejména situace, kdy se prvky těchto množin dají nějak jednoznačně seřadit („vezmu vždy kuličku, která je první v pořadí“). Když ale seřadit nejdou, pak jednoznačná výběrová metoda neexistuje.

Některým lidem je i tak intuitivně zřejmé, že axiom výběru platí, že tu jednu kuličku vytáhneme ze šuplíku vždy. Jsou to, zhruba řečeno, ti samí lidé, kterým je zřejmé, že rovnoběžky se neprotnou ani v nekonečnu.

Jenže ani axiom výběru, ani věta o rovnoběžkách (neboli Eukleidův pátý postulát) se nedá dokázat. Z ničeho nevyplývá. Musí se zavést právě jako axiom – tvrzení, které se nedokazuje. Dobře známe geometrie bez pátého postulátu – neeukleidovské geometrie na jiných než rovinných plochách. Většina lidí vzdělaných v matematice a přírodních vědách s nimi nemá žádný problém, ostatně skvělým příkladem neeukleidovské geometrie je glóbus (součet vnitřních úhlů trojúhelníka je větší než 180 stupňů, nejkratší spojnicí dvou bodů je kruhový oblouk, nikoli úsečka, a tak dále – viz též METRIKA). Právě tak existují teorie množin bez axiomu výběru, a tím pádem také bez Banach-Tarského paradoxu.

Jsou matematici, kteří by se BTP velmi rádi zbavili, jenže obětovat axiom výběru by znamenalo zavrhnout některé další velmi užitečné partie matematiky. Tak to raději nechávají být.

Co se s nimi stalo potom

Alfred Tarski (1901–1983) odplul v srpnu 1939 z Polska do USA na lodi, která se ukázala být poslední. O pár dní později zaútočili na Polsko Němci, čímž začala druhá světová válka. Tarski do konce života přednášel v Berkeley, jeho rodina zahynula v koncentračních táborech.

Hugo Steinhaus (1887–1972) se za války skrýval v ilegalitě. Po válce se stal profesorem ve Wrocławi, kde se pokusil oživit tradici Skotské knihy. Kouzlo se samozřejmě nedostavilo.

Stefan Banach (1892–1945) zůstal ve Lvově. Podařilo se mu udržet si místo i po sovětské anexi východního Polska k Ukrajině, v roce 1941 však přišli Němci. Banach se během okupace živil kuriózním způsobem: svou krví krmil vši používané při lékařském výzkumu tyfu. Zemřel krátce po válce na rakovinu.

Skotská kniha přečkala válku zakopaná na fotbalovém hřišti. V roce 1981 vyšla v USA knižně s obsáhlým komentářem.

Někdejší Kawiarnia Szkocka na ulici Tarase Ševčenka v ukrajinském městě Lviv byla nedávno obnovena. Jmenuje se Szkocka Restaurant & Bar (píše se to skutečně polsky!), je součástí hotelu Atlas, prý velice nóbl: jeden z nejdražších podniků ve městě. Stefan Banach by ji cestou na pivo do nádražky obešel velkým obloukem.

Bayesovo pravidlo

Postup, jak spolehlivě spočítat pravděpodobnost jevů, o jejichž relativních četnostech nevíme skoro nic.

Dalo by se to vysvětlovat i na něčem jiném, ale nejlíp si cokoli zapamatujete, když se zapojí emoce. Takže si představte, že jdete od lékaře, kde vám právě diagnostikovali ošklivou nemoc, nebudeme ji jmenovat. Tedy – nejspíš diagnostikovali. Zatím to byl jen první test. Má spolehlivost 88 %. To znamená, že je příliš citlivý. Ze stovky lidí, jimž vyjde test pozitivně, je nemocných jen 88. To můžete brát jako útěchu, ale ne moc velkou. Na 88 % tu nemoc máte a to je hodně velká pravděpodobnost.

V takovém rozpoložení si nejspíš nevzpomenete na Bayese. A to je chyba. Je to jediný člověk, který by vás mohl trochu uklidnit.

Nikoli osobně, dávno již není mezi námi. Thomas Bayes byl anglikánský duchovní, žil v osmnáctém století a jeho jméno se spojuje s klíčovým poznatkem z teorie pravděpodobnosti trochu neprávem. Skutečným autorem toho, čemu se říká Bayesův teorém, je francouzský matematik Pierre-Simon Laplace, který převedl Bayesovy úvahy do použitelné a přesné podoby. Po Laplaceovi se toho jmenuje i tak dost (inženýři dobře znají Laplaceovu transformaci), přesto je to citelná nespravedlnost, protože dopracování Bayesova teorému je dost možná tím nejvýznamnějším, co Laplace kdy udělal.

Oč jde a co to má společného s vaší smutnou cestou z ordinace? Pravděpodobností náhodného jevu se obvykle míní číslo vyjadřující, jak moc nebo málo lze takový jev očekávat. Když házíme mincí, je pravděpodobnost, že padne panna, rovna jedné polovině. Když házíme kostkou, je pravděpodobnost jedničky (nebo kteréhokoli jiného čísla) jedna šestina. Taková definice je zcela přirozená a srozumitelná. Potíž je v tom, že u mince nebo kostky se dá předem určit, jaká ta pravděpodobnost asi bude. U složitějších jevů, jakých je kolem nás většina, to tak snadné nebývá. A už vůbec to nejde v případě unikátních jevů, kde žádné relativní četnosti – počty orlů a panen při opakovaném házení mincí – neexistují.

Thomas Bayes uvažoval o pravděpodobnosti jinak. Neodvozoval její hodnotu od četnosti výsledku, ale od subjektivního pohledu, od stupně víry, že se stane to či ono. V Bayesově pojetí vycházíme z apriorní pravděpodobnosti (můj subjektivní odhad, jak pravděpodobný je nějaký jev), pak se dozvíme doplňkovou informaci a oba údaje zkombinujeme do finálního výsledku – aposteriorní pravděpodobnosti.

Například: než jdu spát, odhadnu (na základě počasí v několika uplynulých dnech) pravděpodobnost zítřejšího deště na 0,1. Ráno vyhlédnu z okna a vidím těžké mraky. Svůj odhad upravím na 0,4 – mraky jsou silný argument, ale pořád platí, že minulé dny nepršelo a že počasí bývá v této části roku spíš stálé. Téhle povšechné úvaze dal Laplace přesnou a použitelnou matematickou podobu.

V bayesovském uvažování jde vždy o to, jak dospět od apriorní pravděpodobnosti k aposteriorní. Cestou od lékaře byste se tedy měli napřed zamyslet, jaká je apriorní pravděpodobnost, že onou nemocí trpíte. To se dá často zjistit dost přesně: můžete si najít počet jejích výskytů v populaci, anebo přesněji ve vaší věkové skupině, u osob vašeho pohlaví atd.

Dejme tomu, že ve skupině, která se vás týká, mají tuto nemoc dva lidé ze sta, apriorní pravděpodobnost bez jakékoli další znalosti je tedy 0,02. Mezi deseti tisíci lidmi (takové číslo volíme pro pohodlnější počítání) je 200 nemocných.

Vy však dodatečnou znalost už máte – je jí výsledek vašeho testu. Představme si, že se mu podrobilo oněch deset tisíc lidí. Kolika z nich vyjde jako pozitivní? Především oněm dvěma stům nemocným. Zbývá 9800 zdravých. Test je spolehlivý na 88 %. To znamená, že z oněch 9800 označí 9800 × 0,88 = 8624 lidí jako zdravé, 9800 × 0,12 = 1176 jako nemocné.

Celkem tedy bude test pokládat za nemocné 200 + 1176 = 1376 osob. Jednou z nich jste vy a očividně můžete patřit jak do skupiny zdravých, tak nemocných, to se zatím neví. Ví se jen to, že s pravděpodobností 200/1376 = 14,5 % jste mezi těmi dvěma stovkami nemocných ze 1376 lidí otestovaných pozitivně.

To je pořád dost vysoké číslo, ale rozhodně lepší než 88 %. Na další testy můžete jít trochu klidněji – pokud vás tedy tohle čarování s čísly uklidní.

Mělo by. O přijatelnost Bayesova přístupu k pravděpodobnosti se vedly mezi statistiky spory po desítky let, ale dnes je věc víceméně srovnaná a bayesovský přístup se pokládá za plně legitimní. Hodí se jak pro typ problémů, jaký jsme si právě popsali, tak pro mnoho jiných, nachází použití v úlohách strojového učení a umělé inteligence – právě proto, že umožňuje zapracovávat nové informace a zlepšovat na jejich základě původní nejistý odhad. Bayesova metoda se dá použít i tehdy, když nemáme vůbec žádnou apriorní informaci a prostě ji odhadneme.

A mimochodem: správně se Bayesovo jméno vyslovuje beiz. Ale když to tak budete říkat u nás, riskujete, že nikdo nepochopí, o kom to mluvíte, pro Čechy je to zřejmě navždy bajes.

Bilion

Velké číslo, které se plete při překladu.

Sto je desetkrát deset neboli deset na druhou. Tisíc je deset na třetí. Milion je tisíc tisíců, tedy deset na šestou. Miliarda je tisíc milionů: deset na devátou. Bilion je milion milionů, čili deset na dvanáctou. Tak a nikdy jinak.

Pokud tedy mluvíme česky. Anebo německy, rusky, francouzsky, maďarsky, turecky, finsky, indonésky, lotyšsky... prostě některým běžným jazykem.

Kromě angličtiny. Anglické slovo „billion“ značí naši miliardu neboli deset na devátou. A to, čemu my říkáme bilion, je pro Anglosasy „trillion“.

Zkrátka, anglický billion je naše miliarda. To zavdává příčinu zmatkům při překladech. Přestože je tenhle překladatelský oříšek dobře známý, vždy se najde někdo, kdo na to zapomene nebo se ve spěchu přehlédne. V novinách se pak dočteme, že na Zemi žije sedm bilionů lidí nebo něco podobného.

Ve skutečnosti je to ještě složitější, protože systémů pojmenování velkých čísel je víc než dva. Vědci se takovým názvům čísel raději úplně vyhýbají a používají místo nich mocninný zápis – namísto 2 310 000 píšou 2,31 × 10^6. Zato rádi a často používají předpony měrných jednotek.

Základními jednotkami pro přírodovědce jsou metr, kilogram a sekunda. Mnoho dalších se od nich dá odvodit. Rychlost měříme v metrech za sekundu (m/s neboli m.s−1), zrychlení v metrech za sekundu na druhou (m.s−2), sílu v newtonech (1 N = 1 m.kg.s−2), energii v joulech (1 J = 1 m.N), výkon ve wattech (viz WATT).

Tyhle jednotky jsou často příliš velké nebo příliš malé. Pro váš domácí účet za elektřinu je joule neprakticky malý, pro porovnávání velikosti živých buněk (viz ŽIVOT) je metr příliš velký. Proto je dobré některé z předpon znát: kilo- je samozřejmě tisíc (kilometr má tisíc metrů), mega- je milion. Mili- je předpona pro jednu tisícinu, mikro- pro miliontinu, nano- pro miliardtinu a piko- není to, co vás napadlo, ale předpona pro jednu biliontinu základní jednotky.

Takhle to aspoň platí ve fyzice. Lidé od počítačů si násobky jednotek trochu ohnuli po svém, protože jsou zvyklí počítat s mocninami dvou. Kilobajt (KB) proto nemá 1000 bajtů, ale 1024 neboli dvě na desátou. (Kdo to je programátor? praví anekdota, kterou určitě vymyslel programátor. Odpověď totiž zní: člověk, který si myslí, že kilo salámu má 1024 gramů.) Megabajt podobně není milion bajtů, ale 10^24 × 10^24 = 1 048 576 bajtů.

Pro ty, kdo jsou ze školy už nějaký pátek, ještě stojí za připomenutí, jak to je s plošnými a dutými mírami. Obyčejný metr je totéž co deset decimetrů (vida, tuhle předponu, značící jednu desetinu, jsme vynechali), ale čtvereční metr má 10 × 10 = 100 čtverečních decimetrů – vezmete dvě metrové tyče, dáte je do pravého úhlu, na každé vyznačíte deset dílků a podle nich namalujete síť, která se bude skládat ze stovky čtverců 1 × 1 decimetr. Podobně metr krychlový (též kubický) má 10 × 10 × 10 krychlových decimetrů. Jeden krychlový decimetr je učenější název pro dobře známý litr, takže do kubického metru se vejde tisíc litrů. Na hektolitry, případně soudky piva si to už převeďte sami.

Když už je řeč o velkých číslech, jaké je největší, které si ještě dokážeme představit, vizualizovat? Přijde na to.

Jediným pohledem bez počítání snadno zjistíme, zda jsou na stole dva kamínky, tři, či čtyři; od jakého počtu je ale budete muset spočítat? Pokud jste jako většina lidí, bude to nejspíš sedm.

Čísla do stovky jsou našemu vnitřnímu zraku dobře přístupná, takové počty týchž věcí vídáme docela často. Dál je to horší. Náměstí v mém rodném městě měří hektar, tedy 100 × 100 m. Když si k němu v duchu přiložím pravítko s milimetrovou stupnicí a představím si jemné linky napříč celou plochou, získám deset miliard čtverečků o velikosti milimetr krát milimetr. A tím největší číslo, o jehož vizualizaci jsem se kdy pokusil.

S podobně velkými čísly pracují astronomové a ekonomové. Veřejný dluh ČR činí asi 1750 miliard korun. (Richard Feynman jednou podotkl, že by se velkým číslům nemělo říkat astronomická, ale ekonomická.) K nejbližší hvězdě to máme 40 000 miliard kilometrů. Tedy co kilometr, to jeden milimetrový čtvereček na náměstí a těch náměstí musíte projít čtyři tisíce po sobě. (Což vlastně ani nevypadá tak zle.)

Odhaduje se, že lidské tělo tvoří asi 40 bilionů buněk. (V něm a na něm žije přinejmenším stejné množství jednobuněčných zvířátek, bakterií). Vesmír, jak si ho dnes kosmologové představují, obsahuje asi 10^80 atomů – plus minus dva desítkové řády. To je největší číslo, které má nějaký rozumný fyzikální význam. Dál jsme v říši čiré abstrakce.

Číslu 10^100 říkají matematici googol. Larry Page a Sergej Brin si spletli jeho pravopis a proto se Google jmenuje, jak se jmenuje. Googol je, jak vidíte, o hodně větší než počet atomů ve vesmíru, nemá tudíž hmotnou reprezentaci, nedá se nikdy nijak vypsat cifru po cifře.

Donald Knuth, pozoruhodná postava soudobé matematiky a počítačové vědy, vymyslel zápis kompaktnější než exponenciální notaci. Jedna šipka značí obyčejné umocňování: 3↑3 = 27. Dvě šipky: 3↑↑3 = tři na (tři na třetí) = 3^27, což je asi 7600 miliard. Tři šipky: musíme tři umocnit na oněch 7600 miliard! Čtyři šipky… Takzvané Grahamovo číslo je definováno rekurzivním vzorcem, který si můžete najít ve Wikipedii; jestli ho nepochopíte, buďte možná rádi, citlivějším jedincům může způsobit šok. V jeho prvním patře začínáme se čtyřmi šipkami, ve druhém je těch šipek zmíněných 7600 miliard a těch pater je 64. Neexistuje způsob, jak stanovit, kolik má Grahamovo číslo nul, prostě to nevíme. (Zajímavé ale je, že odzadu můžete vypsat jeho cifer, kolik chcete, a to zcela přesně. Končí na 387.)

Ale i takovéhle číslo je nepatrně, nepozorovatelně maličké vedle nekonečna.

Bohrův model atomu

Atom si zpravidla představujeme jako jádro z protonů a neutronů, kolem nějž obíhají elektrony jako planety kolem Slunce. Z větší části to je nesmysl, ale užitečný.

Terry Pratchett, nedávno zesnulý spisovatel fantasy, rád používal termín lies-to-children (psáno takto se spojovníky; Pratchettův nedávno zesnulý překladatel Jan Kantůrek to do češtiny zavedl jako lži-dětem). Míní se tím zjednodušené vysvětlení složitého jevu, které je v podstatě nesprávné – buď proto, že zachází ve zjednodušení až příliš daleko, anebo proto, že je spíš obrazným přirovnáním než popisem – ale prokazatelně napomáhá pochopení problému. Výraz „lži-dětem“ vymysleli pro Pratchetta jeho vědečtí přátelé, matematik Ian Stewart a biolog Jack Cohen. Excelentním příkladem lží-dětem je a zůstává Bohrův model atomu, stěžejní vědecké dílo geniálního dánského fyzika.

Roku 1897 J. J. Thomson objevil elektron. Podpořil tím názor, který tou dobou byl menšinový, že totiž atom (viz ASTAT) má vnitřní strukturu. Vyšel z hypotézy, že katodové záření (viz RADIOAKTIVITA) je proudem částic, které se vytrhávají z materiálu katody. (Dnes víme, že to je pravda.) Z jejich doletu odhadl, že jsou asi tisíckrát lehčí než celý atom vodíku. (Dnes víme, že správná hodnota je 1/1836, Thomsonův odhad byl vzhledem k tehdejším možnostem neobyčejně dobrý.) Ukázal, že mají záporný elektrický náboj, což poznal podle toho, kterým směrem se jejich dráha ohnula v elektrickém poli. A konečně prokázal, že se tyto částice chovají stejně, ať pocházejí z kteréhokoli materiálu.

Z toho všeho vyvodil, že tyto částice, mezitím nazvané elektrony, jsou univerzálním stavebním kamenem všech atomů. Z toho nutně plynulo, že v atomu musí být také něco nabitého kladně, aby výsledný elektrický náboj vyšel nulový. Thomson navrhl „model švestkového pudingu“: souvislou hmotou s kladným nábojem se volně pohybují záporné elektrony. Jako švestky v onom anglickém zákusku.

Jako Slunce s planetami

Thomsonův mladší spolupracovník Ernest Rutherford roku 1911 zjistil, že se jisté malé množství alfa částic (což jsou jádra atomu helia, ve světě subatomárních částic velice těžké střely – podrobnosti opět viz RADIOAKTIVITA) odráží od velmi tenké kovové fólie, kterou by správně měly všechny hladce projít.

Z toho usoudil, že atom musí být tvořen malým kladným elektrickým nábojem uprostřed, okolo nějž ve velké vzdálenosti obíhají Thomsonovy elektrony jako planety kolem Slunce. Odražené alfa částice byly ty, které se náhodou trefily do jader atomů kovu. Z jejich počtu se dalo odhadnout, že jádro je asi stotisíckrát menší než celý atom – jinými slovy, že atomy jsou víceméně prázdné. Že hmota je vlastně prázdnotou, přestože se nám tak nejeví. To byla radikálně odlišná představa než švestkový puding.

Měla však zásadní háček. Když je něco na stabilní kruhové dráze, pohybuje se to se zrychlením. Říká se mu dostředivé, nemění sice velikost rychlosti pohybu, ale mění směr této rychlosti. (Představte si závaží na provázku.) Když se ale se zrychlením pohybuje elektrický náboj, pak vždy vyzařuje energii ve formě elektromagnetických vln. Díky tomu funguje například rádio, které bylo roku 1911 už v komerčním provozu – o platnosti tohoto principu se tedy nedalo pochybovat, ostatně plyne z tzv. Maxwellových rovnic, které jsou pevnou součástí klasické fyziky. A když náboj energii vyzařuje a odnikud nedoplňuje, nutně ji časem ztratí (z výpočtů vycházelo, že „časem“ znamená téměř okamžitě). Elektron tedy nezůstane na kruhové dráze, ale po spirále vlétne do jádra. Atom „přestane fungovat“. Nic takového ovšem nikdo nepozoroval. Bylo jasné, že je tu něco zásadního špatně. Rutherfordova představa atomu byla neudržitelná. První, kdo to dobře věděl, byl sám Rutherford. Trval však na tom, že stopa je správná a že se po ní má jít dál.

Spektrální čáry

Odpověď nabídl roku 1913 Niels Bohr. Dnes víme, že byla víceméně správná (až na spoustu důležitých detailů), jenže ve své době byla tak nepřesvědčivá, že i sám Bohr připouštěl, že jí vlastně nerozumí. Vlastně to ani pořádná odpověď nebyla. Bohr totiž řekl v podstatě toto: elektrony se kolem jádra atomu nepohybují po libovolných drahách, ale jen po přesně vymezených. A vlastností těchto vymezených drah je to, že se na nich žádná energie nevyzařuje. Jsou prostě už takové.

Proč by měla existovat dráha s takovou nevysvětlitelnou vlastností? Bohr otevřeně připouštěl, že jde jen o divoký odhad postavený na analogii s jinou fyzikální hypotézou: Planckovým vysvětlením záření černého tělesa (viz KVANTUM). Existoval ovšem důvod, proč brát jeho nápad vážně: dala se jím vysvětlit jiná experimentální záhada, problém atomových spekter.

Když rozložíte hranolem světlo, dostanete jeho barevné složení neboli spektrum (viz ASTAT). Každému chemickému prvku odpovídá jiná specifická sestava barev neboli spektrálních čar (tak třeba hořící vodík ukáže tři proužky: červený, modrozelený a fialový). Dalo se to použít pro chemickou analýzu, a dokonce se dalo zjistit chemické složení hvězd z jejich světla. Nikdo však nevěděl, proč má každý prvek jiné spektrum, nikdo nevěděl, čím se rozložení čar řídí.

Bohra napadlo, že by čáry ve spektru mohly odpovídat elektronovým drahám. Přesněji řečeno, ne jim samotným, ale vzdálenostem mezi nimi. Elektron na každé z Bohrových drah má jinou energii. Může spadnout z vyšší dráhy na nižší a vydat přitom energii úměrnou velikosti přeskoku: tu pak uvidíme jako jednu z čar spektra. Kolik možností přeskoku, tolik spektrálních čar.

Takhle Bohr předpověděl, kde hledat další, dosud nepozorované spektrální čáry – nepozorované byly proto, že nespadaly do viditelného světla, ale do ultrafialové či infračervené oblasti. Měření ukázala, že ty čáry jsou přesně tam, kde podle Bohra být mají.

To znamenalo, že na Bohrově modelu atomu musí něco být. Přesto nedával smysl, protože neřešil hlavní otázku: co je na těch drahách tak speciálního, že se jich elektron drží? Proč na nich neztrácí energii (jen při přeskoku!), když by ji podle všeho, co je známo o elektřině, ztrácet měl? Kromě toho dovedl Bohr takto popsat jen atom nejjednoduššího prvku, vodíku, protože ten má jen jeden elektron. Pro víc elektronů jeho výpočty nefungovaly. Shoda s naměřenými spektry však nemohla být dílem náhody.

Atomové orbitaly

Rozumět přírodním vědám velmi často znamená napřed si něco umět představit (kvůli pochopení principu) – a pak tu představu odhodit. „Musí takříkajíc odhodit žebřík poté, co po něm vystoupil nahoru,“ napsal Ludwig Wittgenstein. Mystika? Ani ne. Někteří lidé shledávají toto jeho konstatování sice přesným, leč banálním – popisuje jejich každodenní práci.

Během dalších let byl Bohrův model dopracován, úspěšně zobecněn na jiné prvky než na vodík – a pak opuštěn, přesně jako ten Wittgensteinův žebřík, po němž fyzikové vystoupali a pak jej odhodili. I když to není docela přesné: žebřík tentokrát zůstal k dispozici nespecialistům a dál se používá (bohužel včetně těžkopádné a nesystematické terminologie, vzniklé historicky).

V nejčastěji používané podobě teď Bohrův model atomu vypadá takto: jádro atomu se skládá z protonů a neutronů. Kolem něj se pohybují elektrony po drahách, které nejsou kruhové a přesně vzato to ani nejsou dráhy, spíš něco jako obláčky, kde je výskyt elektronů pravděpodobnější než jinde; tenhle aspekt věci se ale právě kvůli názornosti většinou pomíjí. Správně se těm obláčkům říká orbitaly a jsou matematicky přesně definovány – jde o řešení tzv. Schrödingerovy rovnice.

Valenční elektrony

Schrödingerova rovnice (viz SCHRÖDINGER A KOČKA) s významným dodatkem, který doplnil Wolfgang Pauli – takzvaným vylučovacím principem –, umožnila vylepšit Bohrův model atomu a udělat z něj praktický nástroj. Během několika let se tak podařilo zpětně vysvětlit a zdůvodnit celou Mendělejevovu periodickou tabulku, poskytnout jasný výklad chemického chování látek, vytvořit teorii chemické vazby, vysvětlit, proč některé látky vedou elektrický proud a jiné ne – a mnoho dalšího.

Kolikátý je prvek v Mendělejevově tabulce, tolik má jeho atom elektronů (a stejné množství protonů v jádru). Elektrony zaplňují volná místa podle přesně daného výstavbového principu. (Dodnes se mu říká Aufbauprinzip, neboť pochází z dob, kdy celá špičková fyzika mluvila hlavně německy.) Nejprve se zaplní orbital nejblíž jádra, pak další směrem ven a tak dále, jako kdybyste vytvářeli Sluneční soustavu a začali Merkurem. Každý orbital má navíc svá vlastní výstavbová pravidla.

Chemické vlastnosti prvku určují elektrony v orbitalu, který je úplně vnější, a tím pádem nebývá úplně zaplněný. Pokud si náhodou pamatujete ze školní chemie říkanky jako „1s2 2s2 2p6 3s2 3p3“, tak to je právě ono; tohle konkrétní schéma popisuje atom fosforu, který má celkem 15 elektronů. Čte se to: v první slupce dva elektrony v orbitalu s. V druhé slupce dva elektrony v orbitalu s a šest v orbitalu p. Ve třetí slupce dva elektrony v orbitalu s a tři v orbitalu p.

Právě těch pět elektronů ve třetí slupce (říká se jim valenční) určuje chemické vlastnosti fosforu, zejména to, s kolika jinými atomy najednou může vytvořit vazbu. Názorná představa je jednoduchá: valenční elektrony jsou ty nejvíc venku, ty, které mohou nejsnáze přijít do kontaktu s jinými atomy. Tvoří něco jako sadu zástrček a zásuvek, pomocí nichž se atomy mohou propojovat.

Máte-li středoškolskou chemii úspěšně za sebou a nezabýváte-li se fyzikou či chemií profesionálně, můžete v klidu zapomenout na valenční elektrony, Aufbauprinzip a orbitaly. Naproti tomu znát dvojznačnost Bohrova modelu není k zahození. Na jednu stranu je úplně špatný, protože atom nevypadá tak, jak ho Bohr popisuje. Atom totiž nevypadá nijak, názorně se popsat nedá. Na druhou stranu je Bohrův model velmi dobrý jako konceptuální schéma – umožňuje vysvětlit a předvídat hodně důležitých vlastností atomu. U objektu, který se vymyká názorné představě, koneckonců nic lepšího než konceptuální schéma mít nemůžeme! Tenhle aspekt věci však ve školní výuce bohužel často zaniká. Už proto, že mluvit v souvislosti se školou o lžích-dětem si nikdo netroufne. Možná je to škoda.

Contraria sunt complementa

Niels Bohr (1885–1962) byl jednou z klíčových postav moderní fyziky, a to jednak jako tvůrce, teoretik; jednak jako organizátor a učitel. Jeho nejproslulejším žákem byl Werner Heisenberg, ale Bohrovým ústavem v Kodani prošla v podstatě celá jedna generace, tvůrci tzv. Knabenphysik (klukovská fyzika – původně výsměšný pojem narážející na to, že protagonistům převratu ve fyzice, jenž nastal po první světové válce, bylo jen málo přes dvacet).

Bohr měl pro „kluky“ pochopení a svou autoritou jim vytvářel zázemí, i když oni se k němu často chovali neuctivě. Dnes by na tom nebylo nic divného, v roce 1920 to bylo radikální pohrdání usedlou profesorskou tradicí.

Ze spolupráce Bohra s jeho žáky, hlavně s Heisenbergem, vzešla takzvaná kodaňská interpretace kvantové fyziky (viz HEISENBERGŮV PRINCIP NEURČITOSTI).

Po německé okupaci Dánska, k níž došlo v dubnu 1940, Bohr, ač poloviční Žid, dál vědecky pracoval, protože místní úřady vyvíjely proti Němcům i v rámci okupačního režimu tichý odpor. Jeho postavení bylo ovšem nejisté a možnosti omezené. Nakonec se svou ženou Margrethe koncem září 1943 emigroval na malém člunu přes Øresund do Švédska, kde se hned dalšího dne setkal s králem, od nějž o jednadvacet let dříve přebíral Nobelovu cenu, a požádal ho, aby dal veřejně najevo, že je Švédsko ochotno přijmout nejen slavného Bohra, ale všechny dánské Židy. Gustav V. to skutečně o dva dny později učinil a krátce poté emigrovalo všech sedm tisíc dánských Židů.

Přes Británii se pak Bohr dostal do USA, kde se stal spolupracovníkem projektu Manhattan, tedy vývoje jaderných zbraní. V Los Alamos nepobýval trvale, ale jezdil tam na návštěvy a podle Roberta Oppenheimera, vědeckého šéfa projektu, pomohl rozluštit přinejmenším jednu hádanku, se kterou si ostatní nevěděli rady. Bohr sám řekl, že vědci v Los Alamos jeho pomoc nepotřebovali, čímž se nezříkal odpovědnosti. Jen byl skromný a zdvořilý jako vždy.

Po válce se ještě významně zasloužil o vznik ženevského CERN, hlavního evropského centra fyzikálního výzkumu. Od dánského krále Frederika IX. dostal v roce 1947 Řád slona, nejvyšší státní vyznamenání, normálně vyhrazené jen členům královské rodiny. Rovnalo se to povýšení do šlechtického stavu a Bohrovi nezbylo nic jiného než si navrhnout vlastní erb. Zvolil pro něj čínský symbol jin-jang a heslo Contraria sunt complementa, „opaky se doplňují“.

Crispr

Molekula DNA se dá stříhat a lepit. Tak lze upravit genom organismu.

Všechno, co je na Zemi živé, je založeno na stejném principu: předpis, jak rostlina či zvíře vypadají a fungují, je zapsán v každé jejich buňce ve formě molekul DNA – kyseliny deoxyribonukleové. (V každé až na výjimky, jak už to tak bývá; hlavní výjimkou jsou červené krvinky. Nemají jádro, a proto nemají ani jadernou DNA. Je to však výjimka dost podstatná, čtyři z pěti buněk vašeho těla jsou právě červené krvinky. Přesto zůstávají výjimkou; jsou jen jedním z mnoha druhů buněk.)

Tomuto předpisu se říká genom. Genetický kód používá čtyři písmena (ve stejném smyslu, v jakém počítačový kód používá „písmena“ dvě, jedničku a nulu), jimž fyzicky odpovídají čtyři různé jednoduché sloučeniny, báze, které se jedna po druhé vážou na základní kostru molekuly DNA – kyseliny deoxyribonukleové. Bázím navázaným na kostru se říká nukleotidy, dva k sobě přiléhající řetězce nukleotidů se stáčejí do tvaru známé dvojité šroubovice.

Strukturu DNA poprvé popsali Francis Crick a James Watson roku 1953. Získali za to nehynoucí slávu a (spolu s Mauricem Wilkinsem) Nobelovu cenu, na rozdíl od několika jejich spolupracovníků, kteří by si jedno i druhé zasloužili rovněž. Nejčastěji se v této souvislosti objevuje jméno Rosalind Franklinové, která však zemřela v osmatřiceti letech na rakovinu, čtyři roky předtím, než si trojice uznaných objevitelů jela pro medaile do Stockholmu.

Vážení čtenáři, právě jste dočetli ukázku z knihy Věda podle abecedy.
Pokud se Vám líbila, celou knihu si můžete zakoupit v našem e-shopu.

Obsah

1. Úvodem

2. Astat

3. Banach-tarského paradox

4. Bayesovo pravidlo

5. Bilion

6. Bohrův model atomu

7. Crispr

8. Černá díra

9. Derivace

10. Ďábel

11. Einstein

12. Entropie

13. Evoluce

14. Fraktál

15. Fúze

16. Gravitace

17. Heisenbergův princip neurčitosti

18. Chaos

19. Chromozom

20. Integrál

21. Izotopy

22. Jaderná bomba

23. Komplexní číslo

24. Kvantum

25. Kvark

26. Laser

27. Logaritmus

28. Metrika

29. Mitochondrie

30. Nekonečno

31. Nula

32. Ňadra

33. Orbita

34. P-hodnota

35. Pí

36. Qubit

37. Radioaktivita

38. Relativita

39. Řada

40. Schrödinger a kočka

41. Šifra

42. Tranzistor

43. Ťuhýk

44. Ultrazvuk

45. Úhel

46. Úrok

47. Voda

48. Watt

49. X

50. Ypres

51. Ytterby

52. Základy

53. Zpětná vazba

54. Život

55. Poznámky pod čarou